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　　摘要：高中数学课程标准是国家管理和评价课程的准绳。从“元研究”的角度，研究国际高中数学课程标准比较的文献，以期为我国数学教育提供启示。研究表明，文献比较的角度集中于课程广度、深度，比较的方法包括课程难度模型分析、聚类分析，关于课程标准的评价与连贯性的比较文献较单薄。

　　关键词：高中数学课程标准,国际比较,现状,元研究

　　目前在国内已有不少学者对国际高中数学课程标准进行比较研究，课程标准的比较成为教育管理者与教育界同人聚焦的热点。高中数学课程标准的构成要素通常由课程目标、课程理念、知识领域、评价标准组成。2007年，庄智象提出元研究(Meta-re-search)概念，即对他人研究的研究，旨在了解相关研究态势，发现存在问题，并在一定程度上预测发展与待研究的趋势[1]。因此，本文从“元研究”的角度对近20年来不同国家和地区课程标准的比较文献分类和梳理，以期在国家教育部门最新颁布的《普通高中数学课程标准(2017)》(以下简称《课程标准》)的背景下，供研究人员参考，为我国数学教育发展提供启示。

　　一、课程标准目标的比较

　　课程目标是指在课程开发中预期达到的结果标准或规定，我国单独设置课程目标并详细阐明要求，而一些国家的课程标准在实施、评价和教学陈述中融入课程目标。在国际课程目标取向上，培养数学核心素养课程目标体系已经成为国际趋势。美国2010年最新颁布的《共同核心州立数学标准》(Com-monCoreStateStandardsforMathematics)并没有单独设置“课程目标”[2]。早在1982年，威尔弗雷德(WilfredCockcroft)发表的CockcroftReport指出，

　　数学课程标准功能不仅仅是数学知识与技能的获得，还应当培养与实际生活密切相关的数学素养[3]，但目前数学核心素养具体定论与实施尚有争议，如数学核心素养的概念和含义是何?该如何实施?各国注重发展的数学素养也不尽相同，譬如，英国最早关注“素养”(numeracy)，认为数学推理、运用数学知识解决复杂问题等素养首当其冲;丹麦则侧重数学建模、数学推理、数学思维素养。

　　纵观已有文献，我国课程标准既有国际发展取向，又兼具自身特色，儒家文化圈课程标准目标阐述方式与语义特点基本一致。我国“行为动词+知识内容”目标的呈现方式具有过程性、体验性等特点。“解决”“探究”等动词旨在关注学习过程性，“体验”“体会”等动词关注学习的体验性。譬如，严虹对中、新、韩、日四国高中数学课程目标的比较研究表明，中、韩、日课程目标的内容层次大体一致，主要包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面，而四国在知识与技能的内涵、数学能力的外延以及情感态度与价值观上均存在差异[4]。譬如，在知识与技能上，我国在“双基”的基础上拓宽了了解概念的产生背景，新加坡则强调理解概念、法则以及原理之间的关系。

　　二、课程标准理念的比较

　　《辞海》对理念有两种解释，一是“思想、看法”，二是“理论、观念”，不同国家的课程标准理念即该国对数学课程持有的思想观念取向。研究者运用文献法主要对比本国不同时期提出的数学课程理念，而不同国家之间横向比较课程理念的文献较少。归纳来看，各国课程理念关注学生非智力因素对数学学习的影响成为趋势，注重“学生发展为本”成为主流。譬如，新加坡提出“5C”即能力(Competence)、创新(Creative)、自信(Confidence)、批判(Critical)和求知(Curious)的数学课程理念[5]。

　　又如，陆吉健研究南非数学2015年的课程标准理念时指出，相比较2002年，南非一反原有注重逻辑思维的培养方向，转向关注学生生活化的数学体验，将杜威经验课程思想融入课程理念中[6]。

　　关于数学课程理念的研究表明，各国不同时期侧重理念不同，但总体来说，数学课程理念都以人本主义的价值取向为基磐。不论是侧重学生智力、道德、体育的“生存能力”理念的日本，还是注重“生活经验”与数学融合的南非都指向关注学生发展理念取向，这与我国以“以学生发展为本，立德树人”的课程理念相一致。

　　但在比较过程中，对课程理念含义的界定众说纷纭。多数研究对“数学课程理念”使用频繁，但却回避对概念本身提出定义，原因一是许多研究把课程理念视为课程观念，二是课程理念的基本内涵与课程目标等含义相近，似乎认为课程理念是“包罗万象”的概念，然而正是我们对课程理念含义的不确定性，造成了课程理念认识模糊不清甚至滥用。

　　三、课程标准知识领域的比较

　　数学知识领域指数学课程所有的经验、理论、方法论的知识组群，如数与运算、代数与函数、统计和概率。研究者们对课程标准知识领域的比较角度各异，归纳起来，主要集中在知识领域的广度、深度和难度。

　　1.知识领域广度的比较

　　综合现有文献，广度常以课程标准的知识点数来衡量知识领域的覆盖范围，即通过统计知识点数量比较各国具体知识领域广度，研究主要有两种方法，一是直接计算知识点数量，二是利用G=ai/max(ai)公式(ai为各国课程标准知识点数量的总和)计算广度值，相比之下第二种计算方法使数值较小而易于统计，与前者相比本质上都主要利用了知识点数量作比较。最初，由于知识点蕴含模糊的数学思想，因此界定知识点时存在诸多争议，随着研究的深入，为了避免重复，研究者认为应尽可能取小范围的知识点，如“高阶导数”可分为“二阶导数”与“三阶及以上导数”两个知识点。曹一鸣通过统计加拿大、英国和俄罗斯等15个国家和地区概率与统计的知识点数来比较各国在该知识领域的广度，结论表明荷兰课程标准位中概率与统计知识广度位居第一，我国理科与文科分别排名第三和第八，认为我国概率与统计知识领域涉及知识点较广[7]。

　　2.知识领域深度的比较

　　深度指标用于刻画学科知识领域要求达到的认知水平，进而比较国际不同课程标准要求达到的认知水平。国外认知水平划分主要有布鲁姆(Bloom)认知水平分类、韦伯认知水平分类，国内主要采用《普通高中数学课程标准(实验稿)》的认知水平分类。布鲁姆(Bloom)认知水平从低到高分为记忆、理解、运用、分析、评价和创造[8]。韦伯(Webb)将认知要求分为知道、使用常规步骤、使用综合步骤、批判性解决和使用高级推理技能5级水平[9]。

　　但两者在本土化的过程中都遭遇了“绊脚石”，如布鲁姆的“理解”与“分析”认知范畴都包含“比较”要素，造成了两者的界定模糊不清，而韦伯(Webb)与我国课程标准认知划分并不一致也使其推广受阻。目前我国认知水平的划分主要在布鲁姆认知分类基础上结合我国课程标准要求，将认知水平划分为“了解”“理解”“掌握”“灵活运用”四个水平。为了使认知水平得到精确量化，李淑文通过统计各个认知水平对应的知识点数，对各个认知层次水平赋值算出加权平数S=∑ki=1nidi/∑ki=1ni，建立了深度量化模型，该模型最早用于课程标准的深度比较，在国际教材深度的比较中也取得了丰富的成果[10]。

　　另外，课程标准与试题、教材一致性比较构成了现阶段我国数学教育界的热点、重点问题，但数学教育者对不同国家试题、教材与课程标准一致性评价的比较留下了空白，预示了待研究的方向。

　　3.知识领域难度的比较

　　在比较知识领域的广度和深度之后，研究者们往往遇到以下问题：在课程改革中应该侧重知识的广度还是深度?可否建立一项综合性较高的评价指标?因此，难度数量化模型也随即建立。在此之前，课程标准制定与教材编审前期，人们主要根据经验确定课程难度，随着研究的深入，国内开始出现课程难度数量化模型，模型包括四种：第一种是黄甫全在对中小学课程难度探索时建立的由低值模型、均值模型和高值模型组成的灰色关联分析难度模型;第二种是鲍建生根据探究、背景、运算、推理和知识含量五因素建立的难度模型;第三种是孔凡哲引入了加权系数构建综合考虑课程广度与深度的难度模型C=λ×(广度/T)+(1-λ)(深度/T)，T为课程时间[11—13];第四种是李高峰与史宁中先生商榷后，在前三种基础上修订的难度模型，主要进行三点修正：一是应用所有课程目标对课程广度量化，二是用抽象度的“总和”来刻画课程深度而非“平均值”，三是用课程目标赋值的总和来刻画课程深度[14]。

　　归纳来看，以上四种难度模型都属于静态的模型，影响难度的心理、环境等能动的变化因素未考虑在内。课程标准是教育教学活动的准绳，比较国际课程标准知识领域的难度也成为当下研究者关注的热点议题。多数研究者沿用孔凡哲先生和鲍建生建立的两种难度模型，如张玉环在对高中微积分课程国际研究时，利用了孔凡哲建立的难度模型比较了10个国家和地区14个课程标准中微积分的难度[15]，研究表明，澳大利亚难度位居第一，我国排名第九。

　　由此看来，我国微积分知识领域的难度应适当加深。最近，在难度模型优化方面，人们根据访谈调查，认为学习新知识，如新的概念、定理、公式相比先前内容的深化难度更大，故新内容的学习λ的取值为0.6。另外，人们认为该难度模型可引入繁度与偏度，仅由深度与广度刻画课程难度还不够完善，容易掩蔽知识受重视程度带来的影响。

　　4.知识领域的聚类分析比较

　　那么，对于众多国家的课程标准，是否可找出相似的课程标准的集合?研究者引入了多元统计分析理论，采用包括离差平方求和法与类平均求和的聚类分析方法来比较不同国家之间的课程标准[16]。把相似的课程标准作为一个集合，进而分析集合内部与集合之间的关系。譬如，张玉环和王沛利用聚类分析法比较10个国家课程标准知识领域，得到内容相似的4个课标的集合：G1={韩国｝;G2={法国文科，法国理科｝;G3={澳大利亚专业，澳大利亚基础｝;G4={其他｝。同样地，利用聚类分析法还可将国际课程标准中的知识点分成最受重视、次受重视、次不受重视和最不受重视四类。研究表明，在微积分知识领域中国课程标准中没有国际最受重视知识点分类中的“数列极限的概念”，国际最不受重视知识点的分类中，中国课程标准有“最值”，但由于聚类分析操作性不强，目前推广并不广泛[15]。

　　四、课程标准的评价标准比较

　　对《课程标准》征求意见中，27.7%民众认为标准评价标准缺乏案例指导，15.2%认为《课程标准》过于宽泛造成实施困难，20.9%民众认为标准的实施难以落实[17]。各国评价标准比较对我国评价标准的制定有何启示与建议?在此背景下，我国课程标准应制定具体可操作的评价机制以供数学教育者参考。

　　据此，曾宪林比较了上海与加拿大课程标准的评价目的、评价水平和评价测试卷结构后认为，加拿大评价目标指向明确而受到推崇，一是促进学生的发展，二是优化教师教学行为[18]。严家丽比较英美澳高中数学课程标准时认为，澳大利亚高中课程标准与我国标准相比最显著的特点为设置“成就评价标准”，每个科目的成就评价标准分为概念与方法和推理与交流两个维度，在每两个单元之后，根据5个不同要求水平进行评价[19]。

　　另外，中国侧重于课程体系的宏观评价;美国侧重具体学习方式评价。他山之石，可以攻玉。我国课程标准学业评价的比较研究尚处于起始阶段，数学教育研究者主要针对不同国家课程评价标准进行评价，评价标准无论方法的比较还是内容的比较都相对匮乏，这也表明了课程标准比较当完善之处。

　　五、结束语

　　现阶段，高中数学课程标准国际比较研究取得了一定成果，但总体来说课程标准的比较正处于起步走向独立化的时期，同时也存在诸多亟待数学教育界同人解决的问题。纵观现有文献，在研究方法上，多数文献采用量化的课程难度模型计算课程标准的难度，少数文献运用聚类分析方法。定性分析主要包括课程标准的语义陈述、核心概念和定理处理方式的比较。其中，影响课程难度因素不仅包括深度与广度，影响因素可分为静态与动态两种：静态的因素包括学习材料繁度、偏度、不同数学概念和定理的融合度;动态因素包括内容安排的结构次序。正迁移与负迁移心理因素都影响课程难度，而目前已有难度比较的模型大都欠缺考虑上述因素，亟待研究者完善。

　　目前，课程标准与试题、教材运用一致性分析工具比较为现阶段数学教育界关注的热点、焦点，不同国家之间试题、教材与课程标准的一致性评价尚为一片待开发的“绿洲”。在理论取向上，高中数学课程标准的国际比较在课程目标、课程知识领域的比较文献众多，但课程理念含义界定较为模糊，国际课程标准评价标准的比较文献也较少，其原因与我国课程标准评价相关的研究文献单薄有关。

　　另外，高中课程标准与初中课程标准的连贯是知识连通的“血脉”，学生新获得的知识以原有的知识作为“桥梁”，而关于比较课程标准连贯性的文献与专著也寥寥可数。譬如，我国高中数学代数留下了多项式除法学习的缺口，商式与余式的一般关系a(x)/b(x)=q(x)+r(x)/b(x)学习欠缺连贯性。概率与统计、微积分内容也应注重与高等数学内容的衔接。“引进”情节、缺乏原创性等问题引人注目，因此关于国际课程标准的研究亟待从“外学”向“内树”的转变。

　　综上，关于国际高中数学课程标准可从以下视角展开比较，应予以重视：(1)国际高中数学课程标准具体知识领域的比较，如数学建模、对数函数、解析几何等内容。(2)国际高中数学课程标准初高中衔接的比较。(3)国际高中数学课程标准评价体系比较研究。(4)国际视野下的课程标准与试题、教材一致性的比较研究。(5)数学课程难度模型的修正与比较。

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