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　　【摘 要】 从数学史的角度研究高中数学，对认识、理解数学教育具有启发意义。揭示数学概念、法则、结论的发展和本质，追求数学发展的历史足迹，能够使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会到其中蕴含的思想方法。本文从圆锥曲线历史中，找到椭圆概念与现在教材的联系，同时介绍了椭圆的推导方法，通过在历史上对椭圆知识的处理，感受现今高中教材中对椭圆设置的合理性，感受数学的历史对高中数学的影响。

　　【关 键 词】 数学史;高中数学;椭圆的定义;椭圆方程的推导;圆锥曲线

　　一、问题的提出

　　在人教A版高中数学教材选修2-1，第二章“圆锥曲线与方程”，第2.2节“椭圆”的教材中，用绳子画椭圆，由画法归纳出椭圆的定义，然后推导椭圆的标准方程，这种方式非常简洁，由此推理得出相关结论，也符合数学知识的逻辑体系。但是教材没有给出为什么“用平面截圆锥得到不同的截口是圆锥曲线”与“用绳子固定两端画图形得出椭圆定义”的关系;而且椭圆标准方程推导过程中，由于运算特别复杂，又没有相对简单的计算方法，让学生不困在烦琐的计算中，激发学生学习的兴趣。为解决这个问题，我们可以从圆锥曲线的数学史中找到椭圆概念与现今教材中定义的联系及答案。

　　二、椭圆定义的发展

　　圆锥曲线在公元前4世纪就已经闪亮登场了，古希腊的欧几里得(约公元前 325-公元前 265)著有 《圆锥曲线》，对圆锥曲线的许多性质做了系统地总结。尽管此书已经失传，但是上面已经作出现在椭圆的常见定义：截面定义：椭圆是一个圆锥与不过其顶点且与其所有母线相交于同一叶上的一个平面相截而得到的平面曲线。第二定义：平面上到一个定点与一条定直线距离之比为定值(小于1)的点的轨迹为椭圆。

　　如图 1 旦德林双球：圆锥内有两个内切球，两球在截面的两侧，其切点分别为 E 和 F，在截面上任取一点A 作圆锥的母线分别与内切球交于 B，C 两点，显然 AB 和 AF;AC 和 AE 分别为球的切线，易得 AF+AE=AB+AC (定值)，且E，F为焦点，进而更合理地解释了为什么椭圆叫圆锥曲线;为什么动点到两个定点的距离和为定值;而且还意外得知：为什么椭圆会与两个定点相关，即为什么会有焦点。

　　三、椭圆方程的推导

　　方法一是教材的方法，“两次平方”化简，换元如图 2 建系 AB 为 x 轴，CD 为 y 轴，设|F1F2|=2c，点 P (x，y)，|PF1|+|PF2|=2a(a > c)，即： (x - c) 2 + y2 + (x + c) 2 + y2 = 2a (x + c) 2 + y2 = 2a - (x - c) 2 + y2 两边平方有： (x + c) 2 + y2 = 4a2 - 4a (x - c) 2 + y2 +(x - c) 2 + y2 ⇒ a2 - cx = a (x - c) 2 + y2 两边再平方有： a4 - 2a2 cx + c 2 x 2 = a2 (x 2 - 2cx + c 2 + y2 ) ⇒(a2 - c 2 )x 2 + a2 y2 = a2 (a2 - c 2 ) 设 b 2 = a2 - c 2 (b > 0) 有： b 2 x 2 + a2 y2 = a2 b 2 ⇒ x 2 a2 + y2 b 2 = 1(a > b > 0).

　　方法二是数学家洛必达(1661~1704)的推导方法，但他并没有把方程化成椭圆方程的标准形式。如上图 2，设椭圆的长轴|AB|=2a，短轴|CD|=2b，焦距|F1F2|=2c，椭圆上任 意 一 点 P (x， y)。 由 于 |PF1| + |PF2| =2a (a > c )， 设 |PF1 | = a + z,|PF2| = a - z (z为参数)，所以有： |PF1 | = (x + c) 2 + y2 ,|PF2| = (x - c) 2 + y2 |PF1 | 2 - |PF2| 2 =(a + z) 2 -(a - z) 2 =(x + c) 2 + y2 - [(x - c) ] 2 + y2 ⇒ z = cx a 又 a + z = (x + c) 2 + y2 ⇒ a + cx a = (x + c) 2 + y2 ⇒ a2 + 2cx + c 2 x 2 a2 = x 2 + 2cx + c 2 + y2 ⇒ y2 = b 2 a2 (a2 - x 2 )(b 2 = a2 - c 2 ). 洛必达的椭圆方程用长短轴之比表达了椭圆的性质，他的推导方法在19世纪被许多作者采用。

　　四、教材对比

　　下表给出19世纪左右出版的以第一定义、中心在原点建系的数学教材由上表可以看出，历史上很多教材都把第一定义作为椭圆的定义，并没有创设情境，而是直接引入的方法，方程的推导方法大多数是“两次平方”或者洛必达推导方法。我国现行的教材也采用的是椭圆第一定义，定义的引入采用“用绳子固定两端画椭圆”的方法，在“探究与发现”中给出椭圆的截面定义并用“dandelion双球”给出证明，是合理的、符合历史发展的。

　　通过历史上椭圆的发展，再对照我国的教材，椭圆的定义、方程的推导是符合历史上多数教材的处理方式，现在教材只是历史上众多方法中的一种，若在教学中加入数学的历史会更精彩!

　　历史是最好的启发式。教师要让数学史能有机地融入数学教育中，要充分发挥数学史对数学课程教育的作用和功效;教师要让高中数学成为有用的数学、自然的数学、清楚的数学。

　　《从数学史看教材中椭圆定义和方程的推导》来源：《新课程研究》，作者：王丙森。