在初中几何中，模型教学的几何直观性有着很强的指导意义，同时，模型教学也是提升数学学科核心素养的一个重要途径. 本文将对传统“手拉手”模型作进一步探究.

　　一、模型及性质模型

　　如图 1，两个等腰三角形 ABD 和 BCE，AB = BD，BE = BC 且 ∠ABD = ∠CBE = ∠α，AE 与 CD 相交于于点 F，连接 BF. 则有: ( 1) ABE ≌ DBC; ( 2) ∠AFD = ∠α; ( 3) BF 平分 ∠AFC.

　　注 两个相似等腰三角形共顶点旋转，我们称之为等腰三角形的“手拉手”，可得上述三个最基本的结论.

　　二、模型的拓展例

　　1 如图 2，ACB 和 DAE 均为等边三角形，EC 与 BD 相交于点 F，连结 AF.求证: CF = AF + BF; DF = AF + EF.

　　解析 ACB 和 DAE 均为等边三角形. 由手拉手基本结论 ( 1) ，可知 CAE ≌ BAD，易得 ∠ECA = ∠ABD.在 CF 上截取 CG，使 CG = BF. 只需要证明 GF = AF 即可.由于 BCA 为等边三角形，可得 AC = AB，于是可证 ACG ≌ ABF.得 AG = AF，∠CAG = ∠FAB. ∵ ∠CAG + ∠GAB = 60°

　　∴ ∠FAB + ∠GAB = 60°，即 ∠GAF = 60°， ∴ AGF 为等边三角形，故 FG = AF. ∴ CF = CG + FG = BF + AF，同理可得 DF = AF + EF.例 2 如图 3，ACB 和 DAE 均为等腰直角三角形，∠CAB = ∠DAE = 90°，EC 与 BD 相交于点 F，连结 AF.求证: CF = 槡2 AF + BF; DF = 槡2 AF + EF.

　　解析 ACB 和 DAE 均为等腰直角三角形. 由手拉手基本结论( 1) ，可知 CAE ≌ DAB，易得 ∠ECA = ∠ABD.在 CF 上截取 CG，使 CG = BF. 只需要证明 GF = 槡2 AF 即可.由于 BCA 为等腰直角三角形，可得 AC = AB，于是可证 ACG ≌ ABF.得 AG = AF，∠CAG = ∠FAB. ∵ ∠CAG + ∠GAB = 90°， ∴ ∠FAB + ∠GAB = 90°，即 ∠GAF = 90°， ∴ AGF 为等腰直角三角形， ∴ FG = 槡2 AF. ∴ CF = CG + FG = BF + 槡2 AF，同理可得 DF = 槡2 AF + EF.

　　例 3 如图 4，ACB 和 DAE 均为等腰三角形，∠CAB = ∠DAE = ∠α，EC 与 BD 相交于点 F，连结 AF.求证: CF = 2AFsin α 2 + BF; DF = 2AFsin α 2 + EF.解析 ACB 和 DAE 均为等腰三角形. 由手拉手基本结论( 1) ，可知 CAE ≌ DAB，易得 ∠ECA = ∠ABD.

　　在 CF 上截取 CG，使 CG = BF. 只需要证明 GF = 2AFsin α 2 即可.作 AH⊥ CE 于点 H，由于 BCA为等腰三角形，可得 AC = AB，于是可证 ACG ≌ ABF， ∴ AG = AF，∠CAG = ∠FAB. ∵ ∠CAG + ∠GAB = ∠α， ∴ ∠FAB + ∠GAB = ∠α，即 ∠GAF = ∠α， ∴ AGF 为等腰三角形且顶角为 ∠α.在 RtAGH 中，解得 GH = AGsin α 2 = AFsin α 2 ，则 GF = 2AFsin α 2 ， ∴ CF = 2AFsin α 2 + BF.同理可得 DF = 2AFsin α 2 + EF

　　综合上述分析，我们在原有基本模型的基础上进行了拓展发散，从一般到特殊，展示了探究知识生长的过程，“手拉手”模型的基本结论便是拓展的生长源，然后通过截长法，巧妙的实现线段之间的转化. 当然也可以采用补短法实现转化，还可以通过再构造等腰三角形达成目标. 无论哪一种解题策略，都是在基本模型 结 论 的 基 础 上 的 一 种 探 究 和 延伸. 因此，在数学教学中，我们要更好地重视模型的指导意义，充分展示几何元素之间位置和数量的关系，从而提高我们的数学思维能力.

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