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　　摘 要: R 为 2 - 扭自由素环，I 为 R 的非零理想，θ 是 R 上的自同构，F 是 R 上的广义 ( θ，θ) - 导子，( θ，θ) -导子 d 是 F 的伴随导子，有 F( ) xy = F( )x F( )y 或 F( ) xy = F( )y F( )x ，x，y ∈ I . 若 d ≠ 0 ，则 R 为可交换的.

　　关键词: 理想; 素环; 广义 ( θ，θ) - 导子

　　0 引 言

　　Bell 和 Kappe [1]证明了若 d 为 R 上的导子，在 R 的非零右理想上作为同态或反同态，则 d = 0. Ashaf [2]将结论推广到了 ( ) σ，τ - 导子，Rehman [3]进一步研究素环非零理想上广义导子作为同态或反同态. 本文进一步研究了素环非零理想上广义 ( ) θ，θ - 导子作为同态或反同态的结果.

　　1 预备知识

　　设 R 为结合环. 对任意的 a，b ∈ R ，若由 aRb = 0 ，必有 a = 0 或 b = 0 ，则称 R 为素环. 如果环 R 为 2 - 扭自由的，则对任意的 a ∈ R ，若 2a = 0 ，则必有 a = 0 . 设 R 是环，d: R → R 是加性映射. 若对任意的 x，y ∈ R ，满足: d( ) xy = d( )x y + xd( )y ，则称 d 是 R 上的导子. 若映射 σ: R → R 满足: ( 1) σ( x)  R，x ∈ R ; ( 2) σ( x + y) = σ( x) + σ( y) ，x，y ∈ R ; ( 3) σ( xy) = σ( x) σ( y) ，x，y ∈ R ，则称 σ 为 R 的自同构. 设 R 是结合环，g: R → R 是加性映射，θ，φ 是 R 上的自同构. 若对任意的 x，y ∈ R，满足 g( ) xy = g( )x θ( )y + φ( )x g( )y ，则称 g 为 R 上的 ( ) θ，φ - 导子. 设 R 是结合环，g: R → R 是加性映射. 若对任意的 x， y ∈ R ，有 g( ) xy = g( )x y + xd( )y ，则称 g 为 R 上的广义导子，d 是 g 的伴随导子. 设 R 是结合环，g: R → R 是加性映射，θ 是R 上的自同构. 若对任意的 g x，y ∈ R ，有 g( ) xy = g( )x θ( )y + θ( )x d( )y ，则称 g 为 R 上的广义 ( ) θ，θ - 导子，d 是 g 的伴随导子. 设 R 是环，I  R 是 R 的可加子群，若对任意的 r ∈ R ，a ∈ I 均有 ra ∈ I ，ar ∈ I ，则 称 I 为 R 的理想.

　　2 主要结果

　　引理 1

　　[[3]引理1. 1] 若一个素环 R 有一个非零理想是可交换的，则 R 是可交换的.

　　定理 1 R 为 2 - 扭自由素环，I 是 R 的非零理想，设 θ 在 R 上是自同构的，F 是 R 上的广义 ( θ，θ) - 导子，( θ，θ) - 导子 d 是 F 的伴随导子. ( i) F 作为同态在 I 上，若 d ≠ 0 ，则 R 是可交换的. ( ii) F 作为反同态在 I 上，若 d ≠ 0 ，则 R 是可交换的.证明: ( i) 假设 R 是不可交换的.由于 F 在 I 上满足同态，有 ( 1) F( ) u F( )v = F( ) uv = F( ) u θ( )v + θ( ) u F( )v ，u，v ∈ I .在( 1) 用 vw 换 v 并结合( 1) 可得 ( ) F( ) u - θ( ) u θ( )v d( ) w = 0 ，u，v，w ∈ I .又可得 θ -1 ( ) F( ) u - θ( ) u Iθ -1 ( ) d( ) w = 0 ，u，w ∈ I .由 R 是素环可得 F( ) u - θ( ) u = 0 或 d( ) w = 0 ，u，w ∈ I .如果 ( 2) d( ) w = 0 ，w ∈ I .在( 2) 中用 wr 换 w 并结合( 2) 有 0 = d( ) wr = d( ) w θ( )r + θ( ) w d( )r = θ( ) w d( )r ，w ∈ I，r ∈ R .又可得 Iθ -1 ( ) d( )r = 0 ，r ∈ R .由 R 是素环可得 d( )r = 0 ，r ∈ R .故 d = 0 .与已知 d ≠ 0 矛盾，故不成立.如果 F( ) u - θ( ) u = 0 ，u ∈ I .由( 1) 知 θ( ) u d( )v = 0 ，u，v ∈ I .又可得 Iθ -1 ( ) d( )v = 0 ，v ∈ I .所以 d( )v = 0 ，v ∈ I .类似地同( 2) 的解答过程可知也是与已知矛盾的，故不成立.所以假设是不成立的.故 R 是可交换的. ( ii) 由于 F 在 I 上满足反同态，有 ( 3) F( )v F( ) u = F( ) uv = F( ) u θ( )v + θ( ) u F( )v ，u，v ∈ I .在( 3) 中用 uv 换 u 并结合( 3) 有 ( 4) θ( ) u θ( )v d( )v = F( )v θ( ) u d( )v ，u，v ∈ I .在( 4) 中用 wu 换 u 有 ( 5) θ( ) w θ( ) u θ( )v d( )v = F( )v θ( ) w θ( ) u d( )v ，u，v，w ∈ I .对( 4) 左乘 θ( ) w 有 ( 6) θ( ) w θ( ) u θ( )v d( )v = θ( ) w F( )v θ( ) u d( )v ，u，v，w ∈ I .由( 5) ( 6) 知 F( ) [ ] v ，θ( ) w θ( ) u d( )v = 0 ，u，v，w ∈ I .又可得 θ -1 F( ) [ ]( ) v ，θ( ) w Iθ -1 ( ) d( )v = 0 ，v，w ∈ I .由 R 是素环可得 F( ) [ ] v ，θ( ) w = 0 或 d( )v = 0 ，v，w ∈ I .如果 d( )v = 0 ，v ∈ I 类似地由( i) 中( 2) 的解答过程知与已知矛盾，不成立.如果( 7) F( ) [ ] v ，θ( ) w = 0 ，v，w ∈ I .在( 7) 中用 vw 换 v 并结合( 7) 可得 ( 8) θ( )v [ ] d( ) w ，θ( ) w + θ( ) [ ] v ，θ( ) w d( ) w = 0 ，v，w ∈ I .在( 8) 中用 uv 换 v 在结合( 8) 可得 [ ] θ( ) u ，θ( ) w θ( )v d( ) w = 0 ，u，v，w ∈ I .又可得 [ ] u，w Iθ -1 ( ) d( ) w = 0 ，u，w ∈ I .由 R 是素环可得 [ ] u，w = 0 或 d( ) w = 0 ，u，w ∈ I .如果 d( ) w = 0 ，w ∈ I 类似地由( i) 中( 2) 的解答过程知与已知矛盾，不成立.

　　如果 [ ] u，w = 0 ，u，w ∈ I 故 I 是可交换的.由引理 1. 1 知 R 是可交换的.故命题得证. 3 结 语本文研究了在素环非零理想上广义 ( ) θ，θ - 导子作为同态或反同态，若 d ≠ 0 时，素环 R 是可交换的，把 Rehman 研究的素环非零理想上广义导子的相关结果推广到了广义 ( ) θ，θ - 导子上，对进一步研究是很有帮助的.

　　参考文献:

　　[1]Bell H E，Kappe L C. Rings in which derivationa satisfy certain algebric conditions [J]. Acta Math. Hung，1989，53: 339 - 346.

　　[2]Ashraf m，Rehman N，Quadri M A. On( σ，τ) - derivations in certain classes of rings [J]. Rad. Math. ，1999，9: 187 - 192.

　　[3]Rehman M. On generalized derivation as homomorphisms and anti - homomorphisms [J]. Glasnic Mat，2004，39( 59) : 27 - 30.

　　[4]Asma Ali，Deepak Kumar. Generalized derivations as homomorphisms or as antihomomorphisms in a prime rin - g[J]. Mathematics and Statistics，2009，38( 1) : 17 - 20.

　　[5]Havala B. Generalized derivations in rings [J]. Comm. Algebra，1998，26: 1147 - 1166.

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