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　　摘 要: 利用一些差分方程振动性的已有结论，建立了一类非线性四阶差分方程解的振动性的一些充分条件。文中定理对已有结果进行了改进。

　　关键词: 最终正解;差分方程;振动性

　　关于非线性四阶差分方程的研究现在已有许多重要结果。考虑的非线性四阶差分方程为 Δ2æ è ç ö ø ÷ 1 α(k) (Δ2 x(k)) α = q(k) f (x[g(k)])+ p(k)h(x[σ(k)]) + m(k)l(x[n(k)]), (1)其 中 k ∈ N0 ={n0,n0 + 1,⋯}, n0 是 一 个 非 负 整数。 Δ 是差分算子。此方程的振动性在文献[1]中已经做过讨论，且给出了一个相关定理，对其结论进行了改进。对于方程(1)，规定： 1)α 是一个正有理数; 2){α(k)}, {q(k)}, {p(k)}, {m(k)}是正序列; 3){g(k)}, {σ(k)}, {n(k)} 是非增实常数序列，对于任意的 k ∈ n0, g(k)< k, σ(k)> k 且 limk → ∞ g(k)=∞ ; 4)f, h, l: c(R, R) ：满足 xf (x)> 0, f′(x)  0, xh(x)> 0, h′(x)  0(x ≠ 0) 。方程(1)的解是指对于所有充分大的 k  n0 ∈ N0 满足 (1)的序列{x(k)} 。(1) 的解{x(k)} 是非振动的，若 x 是最终为正或最终为负的，否则称 x 是振动的。定理1 若对于方程(1)，满足下列条件： ∑ ∞ a 1 α ( j)=∞， (2)对于任意 xy > 0 都有： -f (-xy)  f (xy)  f (x) f (y)， (3) -h(-xy)  h(xy)  h(x)h(y)， (4) -l(-xy)  l(xy)  l(x)l(y)， (5)若以下方程 Δ2 y(k)- p(k)⋅ h æ è ç ö ø c ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 ⋅ h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 = 0 (6)的所有无界解 Δ2 z(k)- q(k) f (c[g(k),n0])⋅ f æ è ö ø z 1 α [g(k)] = 0, (7) Δ2 w(k)- m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) ⋅ l æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 = 0 (8)的所有有界解是振动的，则(1)是振动的。

　　证明 令 {x(k)} 为(1)的最终正解，如文献[1]中定理1所证。需讨论以下三种情形 a,b,c 情形 a ：假设 Lix(k)> 0,i = 1,2,3。k  n0 ∈ N0 。则对于 l  m + 1  n0 ，有 L1 x(l)- L1 x(m)=∑ j = m l - 1 a 1 α ( j)L2 1 α x( j) 或 Δx(l)= L1 x(l)  æ è ç ö ø ∑ ÷ j = m l - 1 a 1 α ( j) L2 1 α x(m)。上述不等式从 m 到 k - 1两边相加，有 x(k)  c[k,m] L2 1 α x(m),k  m + 1  n0。 (9)令 y(k)= L2(x) ，用 σ(k),(k + σ(k))/2 代替 k,m ，有 x[σ(k)]  Cé ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 y 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 ,k  n0, (10) 在(1)中应用(4)(9)。可知 Δ2 y(k)  p(k)(h)(x[σ(k)])  p(k)h æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 ,

　　则可知(7)有一个最终正解。情形b：假设 Lix(k)> 0，i = 1,2 。 L3 x(k)< 0,k  n0 , 则对于 k  m - 1  n0 ，有 Δx(l)= L1 x(l)  æ è ç ö ø ∑ ÷ j = m l - 1 a 1 α ( j) L1/α 2 x(l), (11) 上述不等式两边从 n0 到 k - 1 相加，有 xk  C[k,n0]L2 1 α x(k)。 (12) 令 z(k)= L2 x(k) ，用 g(k) 代替 k ，有 x[g(k)]  C[g(k),n0]z 1 α [g(k)], k  n0 + 1 (13) 在 (1)中应用(3) , (13)，有 Δ2 z(k)  q(k) f (x[g(k)])  q(k) f æ è ç ö ø C[g(k),n ] ÷ 0 f æ è ö ø z 1 α [g(k)] , 通过文献[2]中的一个结论，易知 有一个最终正解。情形 c：假设 L1 x(k)< 0,L2 x(k)> 0,L3 x(k)< 0,k  n0。如 b 可知(9), 不等式(11)两边从 m 到 k - 1  m  n0 相加，有 x(m)  C[k,m]L2 1 α x(k), (14) 令 w(k)= L2 x(k) 。用 (k + n(k))/2 和 n(k) 代替 k,m。由(2)知： x[n(k)]  Cé ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) ⋅w 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 。 (15) 方程(1)中应用(3)，(15)，有 Δ2 w(k)  m(k)l(x[n(k)])  m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 l æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 , 剩余的部分类似于 b ，因此省略，结论成立。定理2 条件(2)~(4)成立。若以下差分方程 Δy(k)- p(k)h æ è ç ö ø A ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 = 0， (16) Δz(k)+ q(k) f (B[g(k),n0]) f æ è ö ø z 1 α [g(k)] = 0,k  n0  0， (17) Δw(k)+ m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) l æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 = 0 (18) 的所有有界解是振动的，则(1)是振动的。

　　证明 若 {x(k)} 是(1)的最终正解。须讨论三种情形 a,b,c ：情形 a ：若 L1 x(k)> 0，i = 1,2,3。k  n0 ∈ N0，则文献[1]中公式(15)成立。用 σ(k),(k + σ(k))/2, 代替 k,m。有 x[σ(k)]  Aé ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 y 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 , k - 1  n1  n0 (19) 在方程(1)中应用准备知识中条件3，以及(19)。有 Δy(k)  p(k)h(x[σ(k)])  p(k)h æ è ç ö ø A ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 (20) 其中 k  n1  n0。易知(13)有一个最终正解。情形b：若 Lix(k)> 0，i = 1,2 。 L3 x(k)< 0, k  n0 ∈ N0 。则由成立。令 j = k,-L3 x( j)= z( j) 。由(20)有 x[g(k)]  f (B[g(k),n0]) f æ è ö ø z 1 α [g(k)] , k  n1  n0，(21) 在(21)中应用(3)可知 -Δz(k)  q(k) f (x[g(k)])  q(k) f æ è ç ö ø C[g(k),n ] ÷ 0 f æ è ö ø z 1 α [g(k)] 或 Δz(k)+ q(k) f (C[g(k),n0]) f æ è ö ø z 1 α [g(k)]  0,k  n1, 则 (16)有一个最终正解。情形 c ：若 L1 x(k)< 0,L2 x(k)> 0,L3 x(k)< 0,k  n0 ∈ N0。令 w(k)= -L3 x(k), 用 (k + n(k))/2 和 n(k) 代替 k,m。知 x[n(k)]  Cé ë ê ù û ú k + n(k) 2 , n(k) w 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 , k  n1  n0, 在方程(1)中应用准备知识中条件2与上述不等式，有 -Δw(k)  m(k)l(x[n(k)])  m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) f æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,k  n。剩余步骤类似于, 结论得证。

　　参考文献

　　[1]高姗. 一类非线性差分方程的振动性 [J]. 山西大同大学学报(自然科学版)，2016, 32(2): 25 - 26.

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　　[4]陈绍著. 二阶线性差分方程解的渐近线性 [J]. 数学学报, 1992, 35(3): 396 - 406

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