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　　摘 要: 行列式的计算问题，由于形式多变,技巧性较强又灵活多变，掌握起来有一定的难度，针对其中的三对角线型变形后的行列式的算法提供一个参考。

　　关键词: 行列式; 三对角线;数学归纳法; 递推法

　　行列式的出现已有 300 余年历史, 它的大多数功能在当今线性代数中虽然已被矩阵运算代替, 然而它的技巧性强, 形式漂亮, 所以在各类考试中屡有出现[1-3] 。行列式的计算, 尤其是各类特殊形式的 n阶行列式, 难度偏大, 不宜掌握。给出其中一类三对角线及其变化之后的形式的计算。 1 三对角线型行列式的算法三对角线型行列式：行列式的主对角线线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零, 而其余元素全为零，称其为三对角线型行列式。此类行列式的计算通常有如下方法：方法 1：化为上(下)三角行列式，即把主对角线下(上)方的元素全部消为零。

　　方法 2：数学归纳法，首先介绍两种数学归纳法。

　　第一数学归纳法：设有一个与自然数有关的命题，如果 1)当n=1时，命题成立; 2)假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。有时用第一数学归纳法证明命题，仅用归纳假设“n=k 时命题成立”，还不能证明命题成立，它要求有更强的归纳假设，这就是第二数学归纳法。

　　第二数学归纳法：设有一个与自然数有关的命题，如果 1) 当n=n0时，命题成立(n0具体定); 2) 假设 n  k 时，命题成立，证明n=k+1时命题也成立。应用第二数学归纳法证明三对角线型行列式时，困难在于第二步，解决的关键是灵活应用假设，一般常常按照某一行或列展开，求出递推公式后计算。

　　例2 用数学归纳法证明

　　证明 当n=2 时， | | | | | | cos α 1 1 2 cos α = 2 cos 2 α - 1 = cos 2α, 结论成立。假设 n  k 时结论成立，下面证明 n=k+1 时结论也成立。记左端的行列式为 Dn ，按照最后一行展开，得到 Dk + 1 =2 cos α ⋅ Dk - Dk + 1,由假设, Dk - 1 = cos(k - 1)α,Dk = cos kα 得到 Dk + 1 = 2 cos α cos kα -(cos kα cos α + sin kα sin α)= cos kα cos α - sin kα sin α = cos(k + 1)α。由数学归纳法可知, 对一切大于或等于1的自然数命题成立。

　　方法3: 递推法

　　大多数三对角型行列式，如果各行(列)所含元素结构相同，均可使用递推法计算。先用展开式或拆项等方法，将原行列式表成两个低阶同型行列式的线性关系，再用递推公式及某些低阶行列式的值求出仅用一个相邻的行列式表示原行列式的关系式，在此基础上用递推法求出或证明所需结果。

　　按照第一列展开，有 Dn = 2aDn - 1 - a2 Dn - 2，所以 Dn - aDn - 1 = aDn - 1 - a2 Dn - 2 = a(Dn - 1 - aDn - 2)，因此 Dn - aDn - 1 = a(Dn - 1 - aDn - 2)= a2 (Dn - 2 - aDn - 3)= a3 (Dn - 3 - aDn - 4)=⋯= an - 2 (D2 - aD1)= an ，所以 Dn = aDn - 1 + an = a(aDn - 2 - an - 1 )+ an = a2 Dn - 2 + 2an = a3 Dn - 3 + 3an =⋯= an - 1 D1 + (n - 1)an =(n + 1)an ，故 A=(n + 1)an 。

　　2 三对角线型变型变形行列式的计算

　　爪型或箭型都可归为三对角型变形行列式。计算此类行列式的基本方法有化成上(下)三角形行列式，第一数学归纳法，递推归纳法，展开法。例4 行列式 D = | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | a0 b1 b2 ⋯ b n c1 a1 0 ⋯ 0 c2 0 a2 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 0 0 ⋯ an 解 当 ai ≠ 0(i = 1,2,⋯,n) 时，将新行列式的第i+ 1列乘以 - c1 ai (i = 1,2,⋯,n) 后都加到第一列，得到 D = | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | a0 -∑i = 1 n ci bi ai b1 b2 ⋯ b n 0 a1 0 ⋯ 0 0 0 a2 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ an = ∏i = 1 n aj (a0 -∑i = 1 n ci bi ai )。当 ai = 0(i = 1,2,⋯,n) 时，显然D=0。三对角线型及其变形行列式的计算方法中，每道题的解法不唯一，仔细观察，尽量选择相对较简单的解法。

　　参考文献

　　[1]张禾瑞，郝炳新. 高等代数 [M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 1999.

　　[2]同济大学应用数学系. 线性代数 [M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2003.

　　[3]高志强, 庞彦军. 线性代数 [M]. 北京: 科学出版社, 2016.

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